◆研究はどのように着想されましたか

クラインは、トポロジーという新しい幾何学の誕生に多大な影響を与えた、19世紀のドイツの数学者です。リーマン、ポアンカレとクラインの幾何学の研究は、アインシュタインの一般相対性理論の数学的な基礎にもなっています。

彼は「幾何学の本質は、図形にある変換を施した時、変わらない性質を研究する学問である」と考えました。私の研究動機は、クラインの幾何学の捉え方を前提として、空間の全ての点と方向が同一の性質を持つと仮定した時に、考え得る空間の大域的な全てを分類したいという、素朴な問題意識からでした。

◆その後の研究にはどんな進展がありましたか

クライン群と双曲幾何学は、アメリカの偉大な数学者サーストーンが1980年代に新しい手法を導入したことで、研究の方向や意識に大きな転換がもたらされました。私は、彼があげた重要な未解決問題のいくつかを解くことを、当面の目標として研究を進めました。

◆この研究を通じて、どんな課題が解決されましたか

その結果、未解決として残されていた２～３の問題を、30年ぶりに解決しました。これらの問題は「クライン群の変形空間」というものに関するものです。

クライン群の変形空間の様子を、完全に理解する。これは、３次元の負定曲率空間…分かりやすく言うと、どこも同じ曲がり方をしている宇宙空間のうち、３角形の内角の和が180度以下になる場合の可能性を、全て把握することになります。

◆もう少し具体的に幾何学研究で一番大事なことは何ですか

宇宙が均一で、どこも同じ曲がり方をしているのであれば、宇宙はどのような形になりうるのか？これは、アインシュタイン以降における問題です。この場合曲がり方には３通り考えられるのですが、最も難しい部分が負曲率の場合です。この件は、クライン群の変形空間における構造の決定に関わるものです。我々の研究は、その解決のための重要なステップだと自負しています。

◆最終的に何を目指しますか

上に述べたクライン群の変形空間を決定すること、変形空間の理論とリーマン面の変形理論など、解析的な理論との関連を明らかにすることを通じて、負定曲率の幾何の研究を発展させることが目標です。