◆研究はどのように着想されましたか

クラインは、トポロジーという新しい幾何学の誕生に多大な影響を与えた19世紀のドイツの数学者です。リーマン、ポアンカレとクラインの幾何学の研究は、アインシュタインの一般相対性理論の数学的な基礎にもなっています。

彼は「幾何学の本質は、図形にある変換を施した時、変わらない性質を研究する学問である」と考えました。私の研究動機は、クラインの幾何学の捉え方を前提として、空間の全ての点と方向が同一の性質を持つと仮定した時に、考え得る空間の大域的な全てを分類したいという、素朴な問題意識からでした。ポアンカレとクラインは、双曲幾何と呼ばれる非ユークリッド幾何の変換の群として、クライン群という概念を導入しました。

タイヒミュラーは、1930-40年代に活動したドイツの数学者で、リーマン面の変形空間を擬等角写像という考え方を用いて研究しました。その後この空間はタイヒミュラー空間と呼ばれるようになるのですが、幾何的な構造の総体の空間を考えるというのは数学において大変重要な考え方で、その原型となるものです。後述するクライン群の変形空間もその一つです。

◆その後の研究にはどんな進展がありましたか

クライン群、タイヒミュラー空間と双曲幾何学は、アメリカの偉大な数学者サーストーンが1980年代に新しい手法を導入したことで、研究の方向や意識に大きな転換がもたらされました。当初私は、彼があげたクライン群についての重要な未解決問題のいくつかを解くことを、当面の目標として研究を進めました。クライン群の研究が一段落ついた数年前からは、タイヒミュラー空間の双曲幾何的理論の研究を本格的にはじめました。

◆この研究を通じて、どんな課題が解決されましたか

その結果、クライン群分野では、未解決として残されていた２～３の問題を、30年ぶりに解決しました。これらの問題は「クライン群の変形空間」というものに関するものです。クライン群の変形空間の様子を、完全に理解する。これは、３次元の負定曲率空間…分かりやすく言うと、どこも同じ曲がり方をしている宇宙空間のうち、３角形の内角の和が180度以下になる場合の可能性を、全て把握することになります。

一方タイヒミュラー空間は２次元の変形空間で、その大域的、解析的理論を深めることは、クライン群の変形空間のさらなる発展を助けるのと同時に、物理学における弦理論の基礎理論を提供することにも繋がります。

◆もう少し具体的に幾何学研究で一番大事なことは何ですか

宇宙が均一で、どこも同じ曲がり方をしているのであれば、宇宙はどのような形になりうるのか？これは、ポアンカレ、アインシュタイン以降における宇宙論の問題です。この場合曲がり方には３通り考えられるのですが、最も難しい部分が負曲率の場合です。その可能性の総体の作る空間を理解するのがクライン群の変形空間の研究です。この考え方は素朴な実在論に基づいていますが、現代の物理学はより認識論に関わる問題を含んでおり、タイヒミュラー理論が提供する理論はその問題にも関わっています。

我々の研究は、宇宙を理解するための重要なステップだと自負しています。

◆最終的に何を目指しますか

上に述べたクライン群の変形空間、タイヒミュラー空間など、変形空間の理論を位相幾何学的な側面と、解析的な理論との関連を明らかにすることを通じて、負定曲率の幾何の研究を発展させることが目標です。